X
تبلیغات
بزرگ ترين مرجع نمونه سوالات امتحانى - آموزش کامل نحوه پیدا کردن برد توابع

بزرگ ترين مرجع نمونه سوالات امتحانى

بزرگ ترين مرجع نمونه سوالات امتحانى و مطالب آموزشى در تمام مقاطع

آموزش کامل نحوه پیدا کردن برد توابع

توضیح:

در میان نکات زیر، گاهی از شما خواسته می شود فعالیتی را انجام دهید، مطلبی را تعریف کنید یا به سوالی جواب دهید. سعی کنید جواب را در متن کتاب بیابید. اگر در متن کتاب جواب سوال صراحتاً بیان نشده بود، سعی کنید خودتان به سوال مطرح شده پاسخ دهید و اگر نتوانستید از معلمتان بپرسید.
 تعریف برد و توضیحات مهم در این زمینه:
اگر برد تابع حقیقی f به طور صریح داده نشده و تنها ضابطه ی آن در دست باشد، منظور ما از جمله ی «برد تابع f را بیابید»، عبارت است از

«یافتن همه ی خروجی های (f(x که در اینجا x عضوی از دامنه ی f است»، به طور دقیق تر برای محاسبه ی برد تابع f باید مجموعه یL141را محاسبه کنیم.

   این تعریف نیز همانند تعریف دامنه، بسیار کلی است و قانونی همیشگی برای محاسبه ی برد همه ی توابع وجود ندارد. معمولاً یافتن برد یک تابع، حتی از محاسبه ی دامنه ی آن نیز مشکلتر است و گاهی احتیاج به محاسبات طولانی و نیز داشتن تجربه ی کافی در استفاده از قضایا و فرمولهای ریاضی دارد. ما فقط به چند مثال کلی بسنده می کنیم.

نکات اصلی:

  1. برد توابع چند جمله ای درجه ی 2:

    برای یافتن برد تابع L147(که x عددی حقیقی و a عددی مخالف صفر است)، کافی است عرض راس سهمی را به دست بیاوریم.می توان ثابت کرد که این عدد برابر است با L142(ثابت کنید). اگر L143 آنگاه L144 و اگر L145 آنگاه L146. به تصاویر زیر توجه کنید:

    برد چند جمله ای درجه ی 2

    به طور مثال برد تابع L148برابر است با L149 زیرا با توجه به نکات بالا L150.
  2. توابع چند جمله ای درجه ی فرد:
    اگر دامنه ی توابع چند جمله ای درجه ی فرد را R در نظر بگیریم (نه دامنه ای محدود)، آنگاه می توان ثابت کرد که برد نیز R است. (در واقع علت اصلی آن پیوستگی این توابع است که بعدها در دوره ی پیش دانشگاهی به وسیله ی قضیه ی مقدار میانگین اثبات می شود.) به عنوان مثال برد تابع  L151برابر است با R .
  3. توابعی که می توان به وسیله ی آنها x را بر حسب y محاسبه کرد:

    فرض کنید تابع (y=f(x را بتوان به صورت(x=g(y نوشت؛ یعنی x را بر حسب y محاسبه کرد. در اینصورت دامنه ی تابع جدید، برد تابع اصلی است. به مثالهای زیر توجه کنید:

    الف) برای یافتن برد تابع f با ضابطه ی L152 اعمال زیر را انجام می دهیم:

    L153

    بنابر این L154.

    به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

    نکته: با همین روش ثابت کنید که اگر L155، آنگاه L156.

    ب) برد تابع L157

    ابتدا توجه کنید که L158. (دقت کنید که اگر قرار دهیم L159، آنگاه y=0.) می توان نوشت: L160. در نتیجه L161. چون دامنه ی تابع L162برابر است با R  و چون L158، بنابر این برد تابع  L157با L163 برابر خواهد بود.

    به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

    ج) برد تابع L208

    باتوجه به این نکته که طرفین مثبت هستند، می توان نوشت:

    L209

    در عبارت آخر، زیر رادیکال باید نامنفی باشد و لذا L210. اما y>0 ، در نتیجه برد تابع f برابر است با L211.

    به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

    د) برد تابع L164

    روش اول:

    به عبارت زیر توجه کنید:

    L165

    عبارت سمت راست یک معادله درجه ی 2 بر حسب x است. حال با توجه به دلتای این معادله، برای اینکه این معادله جواب داشته باشد باید L166 و لذا L167؛ در نتیجه خواهیم داشت: L168. (توجه کنید که اگر x=-1 آنگاه y=1 و اگر x=1 آنگاه y=-1.)

    روش دوم:

    با استفاده از اتحاد مربع دوجمله ای، می توان ثابت کرد که

    L169

    بنابر این L170و لذا L168.

    به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :


    ه) برد تابع L171

    می توان نوشت:

    L172

    عبارت آخر یک معادله درجه ی 2 بر حسب x است. حال با توجه به دلتای این معادله، برای اینکه این معادله جواب داشته باشد باید  L173. بنابراین خواهیم داشت: L174. (روش دیگر برای پیدا کردن برد این تابع، استفاده از مشتق است که به آن نمی پردازیم.)

    به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

    نکته: مطلب بالا نشان می دهد که کمترین مقدار خروجی این تابع برابر است با L175. توجه کنید که اگر L176، آنگاه L177.
  4. توابع مثلثاتی:

    برد توابع (sin(x و (cos(x برابر است با L091 و برد توابع (tan(x و (cot(x برابر است با R. (چرا؟)
    به مثالهای زیر توجه کنید:

    الف) برد تابع L178

    می توان نوشت: L179. چون L180 بنابر این L181 و در نتیجه برای هر L075 خواهیم داشت L182، پس L183.

    ب) برد تابع L184

    در بخشهای بعدی حسابان خواهید دید که L185. اما بنابر نکته ی 4 می توان نوشت: L186، در نتیجه L187، پس L188. (توجه کنید که در این مثال و بعضی مثالهای بالا، به طور مخفیانه از قضیه ی مقدار میانگین استفاده شده است که این قضیه را در پیش دانشگاهی خواهید دید.)

    نکته ی مهم: ممکن است بعضی از دانش آموزان اینگونه استدلال کنند که چون L189 و L190، بنابر این L191 و در نتیجه L192.
    این استدلال درست نیست، زیرا برای هیچ x ی L193 برابر با 2 یا 2- نیست و لذا L194(دقت کنید)! در واقع به وسیله ی استدلال بالا فقط می توان نتیجه گرفت کهL195. همین ریزه کاریهاست که محاسبه ی برد بعضی از توابع را مشکل می کند.

    به شکل این تابع توجه و سعی کنید برد را فقط به وسیله ی شکل به دست آورید :

  5. تابع جزءصحیح:
    برد تابع جزءصحیح برابراست با L197. در حالت کلی برد تابع L196 زیر مجموعه ای از L197 است؛ اما فرمولی کلی برای محاسبه ی برد اینگونه توابع وجود ندارد.

    به مثالهای زیر توجه کنید:

    الف) برد تابع L198

    صورت و مخرج کسر  L199 همواره مثبت و صورت کسر از مخرج آن کمتر است. بنابر این L200 و درنتیجه بنابر خواص جزءصحیح برای هر L075، 0=(f(x  و لذا باید برد تابع f مجموعه ی تک عنصری {0} باشد.

    ب) برد تابع L202.

    می توان دید L203. چون L204 بنابر این L205. در نتیجه L206.

    ج) برد تابع L207

    روش محاسبه ی برد این تابع به راحتی به دست نمی آید. برای حدس زدن جواب درست، بد نیست که به شکل متوسل شویم و از آن برای استدلال درست استفاده کنیم. به شکل این تابع توجه کنید:



برچسب‌ها: آموزش تابع
+ نوشته شده در  ساعت   توسط   |